I. Hạn chế hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Cho một khoảng K chứa điểm ${x_o}$ và hàm số $y = fleft( x right)$ được xác định trên K hoặc $Kbackslash left{ {{x_o}} right}$.
Chúng ta nói hàm số $y = fleft( x right)$ có hạn chế là số L khi x tiến gần đến ${x_o}$ nếu với mọi dãy số $left( {{x_n}} right)$, ${x_n} to {x_0}$, chúng ta có $fleft( {{x_n}} right) to L$.
Kí hiệu: $mathop {lim }limits_{x to {x_o}} fleft( x right) = L$ hoặc $fleft( x right) = L$ khi $x to {x_o}$.
2. Định lý về hạn chế hữu hạn
* Định lý 1
a) Giả sử $mathop {lim }limits_{x to {x_o}} fleft( x right) = L$ và $mathop {lim }limits_{x to {x_o}} gleft( x right) = M$. Khi đó:
$begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to {x_o}} left[ {fleft( x right) + gleft( x right)} right] = L + M mathop {lim }limits_{x to {x_o}} left[ {fleft( x right) – gleft( x right)} right] = L – M mathop {lim }limits_{x to {x_o}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right] = L.M mathop {lim }limits_{x to {x_o}} left[ {frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}} right] = frac{L}{M}left( {M ne 0} right) end{array}$.
b) Nếu ${fleft( x right) ge 0}$ và $mathop {lim }limits_{x to {x_o}} fleft( x right) = L$, thì:
$L ge 0$ và $mathop {lim }limits_{x to {x_o}} sqrt {fleft( x right)} = sqrt L $
(Dấu của $fleft( x right)$ được xét trên khoảng tìm hạn chế, với $x ne {x_o}$).
3, Hạn chế một phía
* Định nghĩa
Xem thêm : Màn hình IPS là gì và có những ưu nhược điểm gì?
Cho hàm số $y = fleft( x right)$ được xác định trên khoảng $left( {{x_o};b} right)$.
Số L được gọi là hạn chế bên phải của hàm số $y = fleft( x right)$ khi $x to {x_o}$ nếu với mọi dãy số $left( {{x_n}} right)$, ${x_0} < {x_n} < b$ và ${x_n} to {x_0}$, chúng ta có $fleft( {{x_n}} right) to L$.
Kí hiệu: $mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } fleft( x right) = L$.
Cho hàm số $y = fleft( x right)$ được xác định trên khoảng $left( {a;{x_o}} right)$.
Số L được gọi là hạn chế bên trái của hàm số $y = fleft( x right)$ khi $x to {x_o}$ nếu với mọi dãy số $left( {{x_n}} right)$, $a < {x_n} < {x_0}$ ${x_n} to {x_0}$, chúng ta có $fleft( {{x_n}} right) to L$..
Kí hiệu: $mathop {lim }limits_{x to x_0^ – } fleft( x right) = L$.
* Định lý 2
$mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = L$ khi và chỉ khi $mathop {lim }limits_{x to x_0^ – } fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } fleft( x right) = L$.
II. Hạn chế hàm số tại vô cực
* Định nghĩa
a) Cho hàm số $y = fleft( x right)$ được xác định trên khoảng $left( {a; + infty } right)$.
Chúng ta nói hàm số $y = fleft( x right)$ có hạn chế là L khi $x to + infty $ nếu với mọi dãy số $left( {{x_n}} right)$, ${x_n} > a$ và ${x_n} to + infty $, chúng ta có $fleft( {{x_n}} right) to L$.
Kí hiệu: $mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right) = L$ hoặc $fleft( x right) to L$ khi $x to + infty $.
b) Cho hàm số $y = fleft( x right)$ được xác định trên khoảng $left( { – infty ;a} right)$.
Xem thêm : Nghĩa Của Từ Trùm Cuối Là Gì, Ông Trùm Tổ Chức Áo Đen Trong Conan Là Ai
Chúng ta nói hàm số $y = fleft( x right)$ có hạn chế là L khi $x to – infty $ nếu với mọi dãy số $left( {{x_n}} right)$, ${x_n} < a$ và ${x_n} to - infty $, chúng ta có $fleft( {{x_n}} right) to L$.
Kí hiệu: $mathop {lim }limits_{x to – infty } fleft( x right) = L$ hoặc $fleft( x right) to L$ khi $x to – infty $.
III. Hạn chế vô cực của hàm số
1. Hạn chế vô cực
* Định nghĩa
Cho hàm số $y = fleft( x right)$ được xác định trên khoảng $left( {a; + infty } right)$.
Chúng ta nói hàm số $y = fleft( x right)$ có hạn chế là $ – infty $ khi $x to + infty $ nếu với mọi dãy số $left( {{x_n}} right)$, ${x_n} > a$ và ${x_n} to + infty $, chúng ta có $fleft( {{x_n}} right) to – infty $.
Kí hiệu: $mathop {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right) = – infty $ hoặc $fleft( x right) to – infty $ khi $x to + infty $.
2. Một số hạn chế đặc biệt
a) $mathop {lim }limits_{x to + infty } {x^k} = + infty $ với k là số nguyên dương.
b) $mathop {lim }limits_{x to – infty } {x^k} = – infty $ nếu k là số lẻ.
c) $mathop {lim }limits_{x to – infty } {x^k} = + infty $ nếu k là số chẵn.
3. Một số quy tắc về hạn chế vô cực
a) Quy tắc tìm hạn chế của tích $fleft( x right).gleft( x right)$
b) Quy tắc tìm hạn chế của thương $frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}$
