Đầu tiên, chúng ta hãy xác định mức độ khó của các bài toán về lũy thừa của lũy thừa như trong bảng dưới đây:
Để theo dõi bài viết và ôn tập sau này dễ dàng hơn, bạn có thể tải bộ tài liệu tổng hợp về lý thuyết lũy thừa – lũy thừa của lũy thừa tại liên kết dưới đây:
>>>Tải xuống file lý thuyết lũy thừa của lũy thừa đầy đủ và chi tiết<<<
1. Tổng quan về lũy thừa
1.1. Khái niệm lũy thừa
Đơn giản, ta hiểu lũy thừa là một phép toán hai ngôi trong toán học, được thực hiện trên hai số a và b. Kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân a nhân với chính nó b lần. Lũy thừa có thể hiểu là tích số của một số với chính nó nhiều lần.
Ký hiệu lũy thừa là a^b, đọc là “lũy thừa bậc b của a” hoặc “a mũ b”, với a là cơ số và b là số mũ.
Ngoài ra, chúng ta cũng cần biết rằng phép toán ngược với phép lũy thừa là phép khai căn.
1.2. Phân loại lũy thừa
Đã học về lũy thừa nói chung và lũy thừa của lũy thừa riêng, ta biết rằng lũy thừa được chia thành ba dạng: lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số mũ thực. Mỗi dạng có công thức tổng quát hoặc tính chất riêng biệt mà chúng ta cần lưu ý để không nhầm lẫn khi giải bài tập.
Dạng 1: Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương và a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên giống với định nghĩa chung về lũy thừa. Công thức tổng quát như sau:
a^n = a.a.a.a…..a (n thừa số a)
Đối với a^0, a^0 = 1, a^(-n) = 1/(a^n)
Lưu ý:
-
0^n và 0^(-n) không có nghĩa.
-
Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự với lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Dạng 2: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho a là một số thực dương và r = m/n, với m và n là các số nguyên, n ≥ 2. Lũy thừa của a với số mũ r được xác định bởi công thức sau: a^r = a^(m/n) = căn bậc n của a^m
Đặc biệt, khi m = 1, a^(1/n) = căn bậc n của a
Ví dụ:
Dạng 3: Lũy thừa với số mũ thực
Xem thêm : Diễn giải trong Sacombank là gì
Cho a và b > 0, x và y từ đó ta có:
1. ax.ay = a^(x+y)
2. ax/ay = a^(x-y)
3. (ax)^y = a^(xy)
4. (ab)^x = a^x.b^x
5.
6. ax > 0,
7. ax = ay => x = y
8. Với 0 < a < 1, ax > ay => x < y
9. Với 0 < a < b và m là số nguyên dương, am < bm. Nếu m là số nguyên âm, am > bm
Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức Toán 12 thi tốt nghiệp THPT
1.3. Tính chất và công thức cơ bản của lũy thừa
Các tính chất của lũy thừa đóng vai trò quan trọng trong việc so sánh và biến đổi các phép tính lũy thừa trong các bài tập cụ thể. Chúng ta hãy xem xét các tính chất sau đây áp dụng cho việc biến đổi và so sánh lũy thừa:
-
Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, chúng ta có:
Tính chất về bất đẳng thức:
- So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:
- Đối với a > 1, a^m > a^n => m > n
- Đối với 0 < a < 1, a^m > a^n => m < n
- So sánh cùng số mũ:
- Đối với số mũ dương n > 0: a > b > 0 => a^n > b^n
- Đối với số mũ âm n < 0: a > b > 0 => a^n < b^n
Dưới đây là bảng công thức cơ bản giúp chúng ta biến đổi các phép tính lũy thừa:
An = a.a.a…..a (n thừa số a)
A0 = 1
Ngoài ra, còn có một số công thức khác áp dụng trong các trường hợp đặc biệt, cụ thể như sau:
-
Lũy thừa của số e:
Số e là một hằng số quan trọng trong toán học, gần xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa thông qua giới hạn sau:
Giá trị của hàm mũ e được xác định cho tất cả các giá trị nguyên, hữu tỉ, thực và cả phức của x.
Xem thêm : Cà cuống: Không chỉ là món ăn độc đáo
Từ công thức trên, ta có thể suy ra rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là ek như sau:
Công thức trên cũng cho chúng ta biết rằng lũy thừa thỏa mãn đẳng thức khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.
-
Hàm lũy thừa với số mũ thực:
Lũy thừa với số mũ thực thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay vì sử dụng giới hạn của các số hữu tỉ.
Logarit tự nhiên ln(x) là hàm nghịch đảo của hàm e^x. Theo đó, lnx là số b sao cho x = e^b
Trường hợp a là số thực dương và x là số thực bất kỳ, ta có a = e^lna. Vì vậy, nếu ax được xác định thông qua hàm logarit tự nhiên, ta cần:
Điều này đưa ta đến định nghĩa cho tất cả các số thực x và số thực dương a.
2. Lũy thừa của lũy thừa
2.1. Khái niệm lũy thừa của một lũy thừa
Để hiểu rõ hơn về lũy thừa của một lũy thừa, ta có thể suy ra từ định nghĩa của lũy thừa như sau:
Lũy thừa của một lũy thừa là một biểu thức lũy thừa trong đó cơ số là một biểu thức lũy thừa khác. Ký hiệu lũy thừa của một lũy thừa là (a^n)^m
2.2. Công thức lũy thừa của một lũy thừa
Theo định nghĩa trên, công thức lũy thừa của một lũy thừa có dạng như sau:
2.3. Ứng dụng công thức lũy thừa của một lũy thừa trong các bài tập lũy thừa
Ví dụ 1:
Lời giải:
Chọn A
Ta có
Ví dụ 2:
Lời giải:
3. Bài tập lũy thừa của một lũy thừa
Để trở thành thành thạo trong việc giải các bài tập lũy thừa của một lũy thừa, VUIHOC cung cấp cho bạn tài liệu tổng hợp các dạng bài thường gặp nhất áp dụng công thức biến đổi lũy thừa của một lũy thừa. Bạn có thể tải tài liệu theo liên kết dưới đây:
>>>Tải xuống file bài tập lũy thừa của một lũy thừa có giải chi tiết<<<
Trên đây là kiến thức cơ bản về lũy thừa của lũy thừa. Qua bài viết trên VUIHOC, hy vọng các bạn đã nắm chắc kiến thức về chuyên đề này trong quá trình ôn tập cho kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán.
>>> Bài đọc thêm:
Công thức về lũy thừa
