Khối Đa Diện Là Gì? Tính Chất, Các Loại Khối Đa Diện Và Ví Dụ


1. Hình nhiều mặt là gì?

Hình nhiều mặt là hình học được tạo thành bởi các đa giác phẳng thỏa mãn các tính chất sau:

  • Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không có điểm chung, hoặc chỉ có một cạnh chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung. Nghĩa là, khi 2 đa giác không thuộc vào các trường hợp trên, hoặc có nhiều hơn 1 trường hợp trong các trường hợp trên, thì hình đó không phải là hình nhiều mặt.

Ví dụ:

Ví dụ hình không phải là khối nhiều mặt

Hình trên không phải là hình nhiều mặt vì hình tam giác và hình chữ nhật không thoả mãn điều kiện “không có điểm chung”. Cụ thể, 2 đa giác này có 1 điểm chung nhưng không phải là đỉnh chung.

  • Mỗi cạnh của mọi đa giác đều là cạnh chung của đúng 2 đa giác.

Ví dụ hình không phải là khối nhiều mặt

Hình trên không phải là hình nhiều mặt vì có 1 cạnh màu đỏ là cạnh chung của 4 mặt.

Một số hình nhiều mặt quen thuộc mà học sinh đã biết từ lớp 11 như: hình tứ diện, hình lăng trụ, hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình chóp cụt,…

2. Lý thuyết về khối nhiều mặt

2.1. Khối nhiều mặt là gì?

Các em học sinh đã biết về khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp,… Đó là những khối nhiều mặt. Định nghĩa chung của khối nhiều mặt là gì?

Khối nhiều mặt được xác định là miền không gian trong của mỗi hình nhiều mặt. Nghĩa là, mỗi hình nhiều mặt sẽ có 1 khối nhiều mặt tương ứng.

2.2. Đặc điểm, tính chất về khối nhiều mặt

Một số đặc điểm và tính chất về khối nhiều mặt mà học sinh cần nhớ khi làm các bài tập về khối nhiều mặt như sau:

Tính chất 1: Cho một khối tứ diện đều, ta có:

+ Đỉnh của một khối tứ diện đều không là trọng tâm của các mặt.

+ Trung điểm của mọi cạnh chính là các đỉnh của khối bát diện đều.

Tính chất 2: Cho khối lập phương, tâm các mặt của nó tạo thành 1 khối bát diện đều.

Có Thể Bạn Quan Tâm :   Express of Interest (EOI): Tìm hiểu về Thư bày tỏ nguyện vọng Úc

Tính chất 3: Cho khối bát diện đều, tâm các mặt của nó tạo thành một khối lập phương.

Tính chất 4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng nằm trên một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện được gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:

+ Ba đường chéo cắt nhau tại vị trí trung điểm của mỗi đường.

+ Ba đường chéo vuông góc với nhau theo từng cặp.

+ Ba đường chéo bằng nhau.

Tính chất 5: Một khối nhiều mặt phải có ít nhất 4 mặt.

Tính chất 6: Hình nhiều mặt có ít nhất 6 cạnh.

Tính chất 7: Không tồn tại nhiều mặt có 7 cạnh.

2.3. Ví dụ về các khối nhiều mặt

Một số khối nhiều mặt thường gặp:

Các khối nhiều mặt thường gặp

3. Khối nhiều mặt lồi là gì?

Khối nhiều mặt lồi được xác định bằng đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ thuộc khối nhiều mặt. Nếu đoạn thẳng đó nằm hoàn toàn trong khối nhiều mặt thì đó là nhiều mặt lồi.

Ví dụ như khối lăng trụ, khối chóp là các nhiều mặt lồi:

Khối nhiều mặt lồi

Ngược lại, hình sau đây không phải là nhiều mặt lồi vì đoạn MN không thuộc trong nhiều mặt:

Hình không phải khối nhiều mặt lồi

Nắm vững kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập hình học không gian với bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC ngay

4. Lý thuyết về khối nhiều mắt đều

4.1. Định nghĩa

Khối nhiều mặt đều là trường hợp đặc biệt của các nhiều mặt lồi trong số các nhiều mặt. Để xác định khối nhiều mặt đều cần thỏa mãn hai điều kiện sau:

  • Mỗi mặt của khối nhiều mặt là đa giác đều có p cạnh.

  • Mỗi đỉnh đều là đỉnh chung của q mặt.

Từ đó ta có khối nhiều mặt đều loại {p;q}.

4.2. Có bao nhiêu khối nhiều mặt đều?

Có 5 khối nhiều mặt đều đã được chứng minh và có đặc điểm như bảng sau:

Các loại khối nhiều mặt đều

5. Cách phân chia và ghép các khối nhiều mặt

Khi phân chia, ghép các khối nhiều mặt, học sinh cần chú ý đến các điểm nằm ngoài và nằm trong khối nhiều mặt.

  • Những điểm không nằm trong khối nhiều mặt được gọi là điểm ngoài, tập hợp các điểm này được gọi là miền ngoài.

  • Những điểm nằm trong khối nhiều mặt nhưng không nằm trên viền bao ngoài của hình được gọi là điểm trong của khối nhiều mặt. Tập hợp các điểm trong của khối nhiều mặt tạo thành miền trong của khối nhiều mặt.

Cho khối nhiều mặt (H) là kết hợp của hai khối nhiều mặt (H1) và nhiều mặt (H2) thỏa mãn:

  • (H1) và (H2) không có điểm trong chung thì ta nói nhiều mặt (H) được phân chia thành 2 khối nhiều mặt (H1) và (H2).

  • Có thể ghép hai khối (H1) và (H2) để tạo thành khối (H).

Có Thể Bạn Quan Tâm :   Item là gì? Phân biệt khái niệm item trong thời trang & lĩnh khác

Ví dụ 1: Phân chia lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng mặt phẳng (A’BC), ta thu được hai khối nhiều mặt mới là A’ABC và A’BCC’B’.

Ví dụ phân chia khối nhiều mặt

Ví dụ 2: Khối lập phương có thể phân chia thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau?

Giải:

Khối nhiều mặt lập phương

Bằng mặt phẳng (BDD’B’), ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ và lăng trụ BCD.B’C’D’.

+ Với khối ABD.A’B’D’, lần lượt dùng các mặt phẳng ( AB’D) và (AB’D’) chia làm ba khối tứ diện bằng nhau.

+ Tương tự với khối BCD.B’C’D’ cũng chia được thành ba khối tứ diện đều bằng nhau.

Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau được hình thành từ khối lập phương ban đầu.

6. Một số bài tập về các khối nhiều mặt và phương pháp giải

Bài 1: Xét các hình sau, hình nào là hình nhiều mặt?

Bài tập nhận diện khối nhiều mặt

Giải:

Hình nhiều mặt là hình học được tạo thành bởi các đa giác thỏa mãn đầy đủ hai tính chất sau:

  • Hai đa giác bất kỳ có đặc điểm là không có điểm chung hoặc chỉ có một cạnh chung hoặc chỉ có một đỉnh chung.

  • Mọi cạnh của đa giác đều là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Vì vậy, hình 2, 3, 4 không thỏa mãn tính chất số 2. Do đó ta chọn A.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC. Đáy là tam giác vuông cân ở đỉnh B, AC =$asqrt{2}$, SA tạo thành góc 90 độ với mặt phẳng (ABC), SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải:

Bài tập ví dụ tính thể tích khối nhiều mặt

Bài 3: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AA’ = 2a, AD = 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’

Bài tập ví dụ về khối nhiều mặt

Bài 4: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có kích thước AB = a; AC = 2a và $widehat{BAC}$= 120º, mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy tạo thành một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Khối nhiều mặt lăng trụ ABC.A’B’C’

Giải bài tập khối nhiều mặt lăng trụ ABC.A’B’C’

Đăng ký ngay để được thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi Toán THPT sớm ngay từ bây giờ

5. Cách chia và ghép các khối nhiều mặt

Khi chia và ghép các khối nhiều mặt, học sinh cần chú ý các điểm ngoài và trong của khối nhiều mặt.

  • Các điểm không trong khối nhiều mặt được gọi là điểm ngoài, tập hợp các điểm ngoài được gọi là vùng ngoài của hình.

  • Các điểm trong khối nhiều mặt nhưng không trên viền bên ngoài của hình được gọi là điểm trong của khối nhiều mặt. Tập hợp các điểm trong khối nhiều mặt tạo thành vùng trong của hình.

Có Thể Bạn Quan Tâm :   CEO là gì? Tất tần tật các công việc CEO phải làm?

Cho khối nhiều mặt (H) được tạo thành từ hai khối (H1) và (H2) thỏa mãn:

  • (H1) và (H2) không có điểm trong chung, ta nói nhiều mặt (H) được chia thành 2 khối nhiều mặt (H1) và (H2).

  • Có thể nối hai khối (H1) và (H2) lại để tạo thành khối (H).

Ví dụ 1: Chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng mặt phẳng (A’BC), ta thu được hai khối nhiều mặt mới là A’ABC và A’BCC’B’.

Ví dụ chia khối nhiều mặt

Ví dụ 2: Khối lập phương có thể được chia thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau?

Giải:

Khối nhiều mặt lập phương

Bằng mặt phẳng (BDD’B’), ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ và lăng trụ BCD.B’C’D’.

+ Với khối ABD.A’B’D’, lần lượt dùng các mặt phẳng ( AB’D) và (AB’D’) chia làm ba khối tứ diện bằng nhau.

+ Tương tự với khối BCD.B’C’D’ cũng chia được thành ba khối tứ diện đều bằng nhau.

Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau được hình thành từ khối lập phương ban đầu.

6. Một số bài tập về các khối nhiều mặt và phương pháp giải

Bài 1: Xét các hình sau, hình nào không phải là hình nhiều mặt?

Bài tập nhận diện khối nhiều mặt

Giải:

Khối nhiều mặt là hình học được tạo thành bởi các đa giác thỏa mãn đầy đủ hai tính chất sau:

  • Hai đa giác bất kỳ có đặc điểm là không có điểm chung hoặc chỉ có một cạnh chung hoặc chỉ có một đỉnh chung.

  • Mọi cạnh của đa giác đều là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Do đó, hình 4 không thoả mãn tính chất số 2 (hai mặt bất kỳ có một điểm chung – nhưng điểm đó không phải là đỉnh)

Vì vậy, hình D không phải là hình nhiều mặt.

Đa diện xuất hiện khá nhiều trong bài thi tốt nghiệp THPT QG. Trong video dưới đây, thầy Tài sẽ giải 20 câu được trích ra từ đề thi các năm và đề thi thử. Hãy theo dõi video học cùng thầy để nắm vững bài học nhé!

Đây là toàn bộ lý thuyết và các bài tập điển hình về khối nhiều mặt. Để nắm vững hơn về khối nhiều mặt và các kiến thức hình học trong chương trình Toán 12, các em học sinh có thể truy cập trang web giáo dục Vuihoc.vn để tìm hiểu thêm nhiều kiến thức bổ ích hơn nữa!

Bài viết tham khảo thêm:

Khối nhiều mặt đều và khối nhiều mặt lồi

Khái niệm về thể tích của khối nhiều mặt

Back to top button