Bài 3 Hạng của ma trận

Cho ma trận A. Ta có thể tạo ma trận con của A bằng cách xóa bỏ một số dòng và cột của A. Định thức của ma trận con cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A.

Hạng của ma trận A là r nếu:

A có một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp s (s > r) đều bằng 0.

Chúng ta thường ký hiệu Hạng của ma trận A là R(A)

Ví dụ: Cho ma trận A = (1, 1, 1 / 0, 1, 1/ 0, 0, 1) Tìm R(A)

Vì (| A | = 1 ≠ 0), nên R(A) = 3

Ví dụ: Cho ma trận A = (1, 2, 3 / 4, 5, 6/ 7, 8, 9) Tìm R(A)

Vì (| A | = 0 và | (1 2 / 4 5) |= -3 ≠ 0), nên R(A) = 2

Một số hệ quả:

(Rank({A_{m,x,n}}) ≤ min {m, n} / R(A) = R({A^T}) = R({A_{n,x,n}}) = n khi và chỉ khi | {A_{m,x,n}} | ≠ 0)

Xét ma trận A. Ta có:

R(A) = hạng của hệ vectơ dòng của A = hạng của hệ vectơ cột của A.

  • Một dòng của ma trận A được gọi là dòng tầm thường nếu nó chỉ chứa số 0.
  • Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải của một dòng không phải là dòng tầm thường được gọi là phần tử dẫn đầu.
  • Một dòng không phải là dòng tầm thường được gọi là dòng có bậc k nếu phần tử dẫn đầu là phần tử thứ k tính từ trái sang phải.

Ví dụ: Xét ma trận A = (2, 0, 1 / 0, -3, 2 / 1, 2, -3 / 0, 0, 0)

Ta có:

Dòng thứ 1 là dòng không tầm thường có bậc 1.

Dòng thứ 2 là dòng không tầm thường có bậc 2.

Dòng thứ 3 là dòng không tầm thường có bậc 1.

Dòng thứ 4 là dòng tầm thường.

Một ma trận A có dạng bậc thang nếu:

  • Các dòng tầm thường (nếu có) được đặt ở dưới cùng.
  • Các dòng không tầm thường có bậc tăng dần.
Có Thể Bạn Quan Tâm :   Cách viết Support Sentences trong IELTS Writing Task 2 đơn giản

Ví dụ: Ma trận A = (2, 0, 1, 0 / 0, -3, 0, 2 / 0, 0, 0, 1) là ma trận bậc thang

Một ma trận bậc thang thu gọn là một ma trận bậc thang có thêm các tính chất:

  • Các phần tử dẫn đầu (gọi là phần tử trụ) đều bằng 1.
  • Các phần tử ở trên và cùng cột với phần tử trụ đều bằng 0.

Ví dụ: Ma trận A = (1, 0, 3, 4 / 0, 1, 2, 0 / 0, 0, 0, 1, 2) là một ma trận bậc thang thu gọn

Cho A là một ma trận bậc thang. Khi đó, theo định nghĩa hạng của ma trận, ta dễ dàng nhận thấy: R(A) = số dòng không tầm thường của ma trận A

Ví dụ: Xét ma trận A = (1, 2, 3, 4 / 0, 2, 0, 4 / 0, 0, 1, 1) Vì A có dạng bậc thang và có 2 dòng không tầm thường, nên R(A) = 2.

Các phép biến đổi sau đây trên dòng của một ma trận được gọi là phép biến đổi sơ cấp:

  • Đổi chỗ hai dòng.
  • Nhân một dòng với một số khác 0.
  • Cộng vào một dòng bởi bội của một dòng khác.

Bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta có thể đưa một ma trận về dạng bậc thang hay dạng bậc thang thu gọn.

Chúng ta có thuật toán đưa một ma trận về dạng bậc thang như sau:

  • Bước 1: Tìm cột không tầm thường đầu tiên tính từ trái sang phải. Giả sử cột đó là cột j .
  • Bước 2: Đổi chỗ các dòng sao cho một phần tử khác 0 của cột j đứng ở dòng 1, tức là ({a_{{rm{ij}}}} ne 0).
  • Bước 3: Sử dụng phần tử ({a_{{rm{ij}}}}) làm phần tử trụ, đưa các số khác 0 cùng cột và ở dưới {a_{{rm{1j}}}} về 0 bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp ({a_{{rm{1j}}}}d_i-{a_{{rm{ij}}}}d_1) (nhân dòng i với ({a_{{rm{1j}}}} ) , nhân dòng 1 với (-{a_{{rm{ij}}}} ) cộng lại và viết vào dòng i).
  • Bước 4: Lặp lại các bước trên với ma trận con bằng cách bỏ đi dòng 1.
  • Bước 5: Lặp lại các bước trên cho đến khi có được dạng bậc thang.
Có Thể Bạn Quan Tâm :  

Ví dụ Đưa ma trận sau về dạng bậc thang

A = (1, 2, -3, 0 / 2, 4, -2, 2 / 3, 6, -4, 3)

Giải

Ta có:

dạng bậc thang

Ta cũng có thuật toán đưa ma trận bậc thang về dạng bậc thang thu gọn như sau:

Cho A = ({a_{{rm{ij}}}}) là ma trận bậc thang với các phần tử dẫn đầu lần lượt là ({a_{{rm{1j_1}}}}, {a_{{rm{2j_2}}}}, …, {a_{{rm{rj_r}}}}).

Bước 1: Nhân dòng r với (1/{a_{{rm{rj_r}}}}) để có phần tử dẫn đầu của dòng r là 1.

Bước 2: Sử dụng phần tử ({a_{{rm{rj_r}}}} = 1) để làm phần tử trụ, đưa các phần tử cùng cột và ở trên a về số 0 bằng phép biến đổi sơ cấp ({d_i-{a_{{rm{rj_r}}}}}d_r).

Bước 3: Lặp lại các bước trên với các dòng r-1, r-2, …, 2.

Bước 4: Nhân dòng 1 với (1/{a_{{rm{1j_1}}}}).

Để đưa về dạng bậc thang thu gọn, chúng ta có thể áp dụng hai thuật toán trên, đưa ma trận về dạng bậc thang rồi đưa về dạng bậc thang thu gọn. Ngoài ra, chúng ta có thể áp dụng thuật toán đưa ma trận về dạng bậc thang có sửa đổi một chút:

Ở bước 3, thay vì chỉ đưa các số khác 0 đứng dưới và cùng cột với phần tử dẫn đầu về số 0, chúng ta đưa cả các số khác 0 đứng trên và cùng cột với phần tử dẫn đầu về số 0.

Sau cùng, khi đã có được dạng bậc thang, chúng ta chia các dòng tầm thường cho phần tử dẫn đầu của chúng để đưa các phần tử dẫn đầu về số 1.

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng bậc thang thu gọn

Có Thể Bạn Quan Tâm :   Bột năng là gì? Công dụng, cách dùng và cách phân biệt

A = (2, 1, 5, 3 / 1, -4, 2, 3 / 3, 0, 1, 2)

Giải

Ta có

dạng bậc thang thu gọn.

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của một ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận.

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A = (1, 2, 3, 4 / 2, 0, -3, 0 / 0, 1, 2, 0 / -1, 0, 0, 0)

Ta có:

Vì R(B) = 2, nên R(A) = 2.

Ứng dụng:

Để kiểm tra tính độc lập tuyến tính và tính phụ thuộc tuyến tính của một hệ n vectơ, chúng ta có thể sắp xếp các vectơ đó thành các dòng của một ma trận A, sau đó tìm hạng của A. Nếu R(A) = n, thì hệ là hệ độc lập tuyến tính, nếu R(A) < n, thì hệ là hệ phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ: Xét tính độc lập tuyến tính và tính phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ V = {(1, 2, 0, 3), (2, 1, -4, 0), (-2, 0, 1, 1)}

Giải

Chúng ta lập ma trận

Suy ra: R(A) = 3. Vậy, hệ V là hệ độc lập tuyến tính.

Để tìm một cơ sở và số chiều của không gian vectơ con sinh bởi một hệ vectơ, chúng ta lập ma trận A gồm các dòng là các vectơ đó, sau đó đưa A về dạng bậc thang. Các dòng không tầm thường của A tạo thành một cơ sở của không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ đó, và số dòng không tầm thường tối đa của A ở dạng bậc thang là số chiều của không gian con sinh.

Ví dụ: Tìm một cơ sở và số chiều của không gian (V) với V = {(1, -2, 5, 4), (2, -2, 1, 0), (3, 4, 0, 2)}

Giải: Chúng ta lập ma trận

Suy ra: R(A) = 3, nên dim(V) = 3

Và một cơ sở của (V) là {(1,-2,5,4),(0,2,-9,-8).(0,0,1,1)} .

Back to top button