FFT: PHƯƠNG TRÌNH VÀ LỊCH SỬ

Biến đổi Fourier, được đặt theo tên nhà toán học người Pháp Jean-Baptiste Joseph Fourier vào cuối thế kỷ 18, là một phép toán dùng để chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian (không gian) sang miền tần số. Theo định lý Fourier, một tín hiệu có thể được tạo thành bởi một số hàm có biên độ, tần số và pha tương ứng. Dạng chuỗi Fourier cho một tín hiệu tuần hoàn, x(t):

Biến đổi Fourier: Phương trình và Lịch sử

Đối với sóng sin, chỉ có một hệ số. Tuy nhiên, nếu tín hiệu chứa một số lượng vô hạn các tần số, ví dụ trong trường hợp sóng vuông lý tưởng, việc sử dụng một số hữu hạn N sẽ dẫn đến sai số. Hình 1 và 2 thể hiện tín hiệu gốc được biểu diễn theo chuỗi Fourier với N = 3 (tín hiệu màu xanh lục) và N = 15 (tín hiệu màu xanh lam). Như chúng ta có thể thấy, độ chính xác của phép biến đổi phụ thuộc vào tính chất của tín hiệu và số hạng trong chuỗi.

Biến đổi Fourier: Phương trình và Lịch sử Hình 1. Hàm sóng vuông lý tưởng

Biến đổi Fourier: Phương trình và Lịch sử

Hình 2. Chuỗi Fourier của sóng vuông với N=3 và N=15

Tuy nhiên, hầu hết các tín hiệu không tuần hoàn. Các tín hiệu không tuần hoàn không có chuỗi Fourier. Thực tế này khiến Fourier bị thất vọng và ông đã mất cả gần 20 năm để phát triển một công thức tổng quát có thể áp dụng cho bất kỳ hàm nào. Bây giờ, mọi tín hiệu có thể được chuyển từ miền thời gian sang miền tần số theo phương trình sau:

Có Thể Bạn Quan Tâm :   Retention Rate Là Gì? Cần Làm Gì Để Giữ Chân Khách Hàng

Phương trình này không chỉ là một khái niệm toán học đơn thuần. Nó còn mô tả các thành phần cấu thành tín hiệu và từng thành phần riêng biệt trong đó. Điều đó có nghĩa là, bất kể kích thước của các thành phần, chúng sẽ xuất hiện trong danh sách các thành phần được cung cấp từ phép biến đổi. Cho một tín hiệu phức tạp bao gồm một sóng sin và một hàm sinc như trong Hình 3.

Biến đổi Fourier: Phương trình và Lịch sử

Hình 3. Biểu diễn một tín hiệu phức tạp bao gồm một sóng sin và một hàm sinc trên miền thời gian

Biểu diễn tín hiệu trên miền thời gian không mang lại thông tin hữu ích. Phổ tần số biên độ (Hình 4) thể hiện rõ các thành phần của tín hiệu. Lưu ý rằng các thành phần mong muốn có thể được phân tích riêng biệt. Đây chính là tính năng của biến đổi Fourier.

Biến đổi Fourier: Phương trình và Lịch sử

Hình 4. Phổ tần số của một tín hiệu phức tạp bao gồm một sóng sin và một hàm sinc

Công thức này thực sự tuyệt vời. Tuy nhiên, nó sẽ yêu cầu thực hiện biến đổi mãi mãi. Số lượng phép tính cần thiết để xử lý phương trình này tăng lên tỷ lệ trực tiếp với độ lớn của tín hiệu, vấn đề này trở nên phức tạp hơn khi kích thước tín hiệu tăng đến mức không thể thực hiện được. Các máy tính đầu tiên đã mất hàng trăm giờ để thực hiện một phép biến đổi đơn giản theo tiêu chuẩn hiện nay. Vì vậy, từ năm 1805, đã có những nỗ lực để tăng cường hiệu suất của thuật toán. Vào cùng năm đó, Carl Friedrich Gauss đã phát minh một phương pháp biến đổi Fourier hiệu quả. Tuy nhiên, nó vẫn không rõ ràng trong 160 năm sau đó.

Có Thể Bạn Quan Tâm :   Bảo tàng Lịch sử Quốc gia

Năm 1965, James Cooley của IBM và John Tukey của Princeton đã khám phá và phổ biến thuật toán này. Công việc của họ là giảm đáng kể số lượng phép tính. Việc giảm này đặc biệt đáng chú ý khi số lượng phép tính là một lũy thừa của 2. Trong trường hợp này, số lượng phép tính tỷ lệ với thuật toán được gọi là FFT ngay sau khi ra mắt. Nó ngay lập tức tạo nên một cuộc cách mạng trong biến đổi Fourier của tín hiệu. Với 64000 điểm FFT, thuật toán này nhanh gấp 4000 lần so với phương pháp truyền thống. Nó cũng đã trải qua một số sửa đổi kể từ khi được phát hiện. Và vào tháng 1 năm 2000, nó đã được xếp vào Top 10 các thuật toán quan trọng nhất của thế kỷ 20.

Có Thể Bạn Quan Tâm :   Phân mảnh ổ cứng là gì? Hướng dẫn cách chống phân mảnh ổ cứng

Với sự phát triển của xử lý tín hiệu số, FFT đã được đưa lên một tầm quan trọng mới. Một số công ty như Texas Instruments và Analog Devices đã giới thiệu các bộ xử lý FFT chuyên dụng. Một khi tín hiệu được chuyển từ miền tương tự sang số thông qua bộ chuyển đổi tương tự-số, các ứng dụng trở nên không giới hạn.

Biến đổi Fourier: Phương trình và Lịch sử

Hình 5. Tín hiệu từ Đài quan sát Arecibo ở Puerto Rico được phân tích để tìm kiếm thông tin ngoài hành tinh

Có nhiều ứng dụng khác nhau được hưởng lợi từ FFT, đặc biệt trong lĩnh vực truyền thông. Radar, điện thoại di động, xử lý giọng nói và SETI (tìm kiếm trí tuệ ngoài Trái Đất) là một số ứng dụng phổ biến sử dụng FFT.

Công dụng của FFT trải rộng khắp mọi lĩnh vực của cuộc sống. Điều này có thể là các thiết bị giám sát, bộ tổng hợp hoặc bộ phân tích tín hiệu sử dụng biến đổi Fourier. Hiện nay, hầu hết các tín hiệu đều không thể tiếp tục được ứng dụng nếu không có biến đổi Fourier.

Nguồn: RSI

Back to top button