Đường trung tuyến là gì? Các định lý, tính chất, công thức và các dạng toán thường gặp

Đường trung tuyến của tam giác là một trong những kiến thức cơ bản mà học sinh cần biết để áp dụng vào các bài tập và kỳ thi. Nếu bạn quên, đừng lo vì bài viết này sẽ giúp bạn củng cố kiến thức chung về đường trung tuyến. Vậy đường trung tuyến là gì? Các tính chất về đường trung tuyến trong tam giác là gì? Các thành phần đặc biệt của bài tập về đường trung tuyến trong tam giác là gì?

Khái niệm đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Khái niệm đường trung tuyến của tam giác

Đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến một cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

Đường trung tuyến của một tam giác có 3 tính chất sau:

Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
Vị trí trọng tâm của tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Có Thể Bạn Quan Tâm : Realtek high definition audio driver là gì?

Ví dụ:

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên ta có biểu thức: AG/AI = BG/BM = CG/CN = 2/3

Một số định lý về đường trung tuyến trong tam giác

Trong tam giác, có 3 định lý về đường trung tuyến như sau:

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, gọi là trọng tâm của tam giác.
Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Ba đường trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
Về vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy.

Khái niệm đường trung tuyến trong các loại tam giác đặc biệt

Tìm hiểu về đường trung tuyến trong tam giác vuông

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông:

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 độ dài cạnh huyền.
Một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa độ dài cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.
Đường trung tuyến của tam giác vuông có đầy đủ tính chất của một đường trung tuyến trong tam giác.

Ví dụ: Khái niệm đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt

ABC vuông có AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.

=> AD = 1/2BC = DB = DC

Ngược lại, nếu đường trung tuyến AM = 1/2BC thì tam giác ABC vuông tại A.

Tìm hiểu về đường trung tuyến trong tam giác cân và tam giác đều

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác cân:

Có Thể Bạn Quan Tâm : Oz là gì? Bảng quy đổi từ 12oz sang ml là bao nhiêu?

Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác vuông vuông góc với cạnh đáy và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

Ví dụ: Khái niệm đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt

ABC cân tại A có đường trung tuyến AD ứng với cạnh BC => AD ⊥ BC và ΔADB = ΔADC

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác đều:

Ba đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tam giác thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
Trong tam giác đều, đường thẳng qua một đỉnh bất kỳ và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.

Ví dụ: Khái niệm đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt

ΔABC đều => ΔGAE = ΔGAF = ΔGCF = ΔGCD = ΔGBD = ΔGBE = ΔGEB = ΔGEA

SADB = SADC = SCEA = SCEB = SBFA = SBFC

Công thức liên quan đến độ dài đường trung tuyến

Chúng ta có thể tính độ dài đường trung tuyến của một cạnh bất kỳ bằng cách lấy căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối (Định lý Apollonnius)

Công thức liên quan tới độ dài của đường trung tuyến

Trong đó: a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác

ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác

Các dạng bài tập thường gặp về đường trung tuyến

Dạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh và tính độ dài đường trung tuyến

Phương pháp giải: Chú ý đến vị trí của trọng tâm của tam giác, xác định 3 đường trung tuyến của tam giác

VD: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC?

Các dạng bài tập thường gặp về đường trung tuyến

Giải:

Gọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến của tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB, AC

+ Ta có AD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên AG = 2/3AD (1)

Có Thể Bạn Quan Tâm : Nhận Xét Dcom Server Process Launcher Là Gì, Dcom Server Process Launcher Là Gì

+ CE là đường trung tuyến của tam giác ABC nên CG = 2/3CE(2)

+ BF là đường trung tuyến của tam giác ABC nên BG = 2/3BF(3)

Ta có tam giác BAC đều => AD = BF = CE (4)

Từ các công thức (1), (2), (3), (4) suy ra AG = BG = CG

Dạng 2: Đường trung tuyến trong tam giác đặc biệt

Phương pháp giải:

Trong tam giác vuông: Xác định đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.
Trong tam giác cân, tam giác đều: Xác định đường trung tuyến ứng với cạnh đáy và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

VD: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 17cm, BC = 16cm. Kẻ đường trung tuyến AM?

a) Chứng minh: AM ⊥ BC? b) Tính độ dài AM?

Các dạng bài tập thường gặp về đường trung tuyến

Giải:

a) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC cân tại A

=> AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM ⊥ BC

b) Ta có:

+ BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

+ AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng Định lý Pythagore có:

AC² = AM² + MC² => 17² = AM² + 8² => AM² = 17² – 8² = 225 => AM = 15cm.

Xem thêm:

Bài kiểm tra học kì 1 môn toán lớp 3 chương trình mới 2022-2023 có đáp án
7 cách viết ký hiệu toán học trong word đơn giản nhanh chóng
10 cách học toán hiệu quả nhất cho người mất gốc

Thông qua bài viết hôm nay, chúng ta có thể xem lại và tìm hiểu về các lý thuyết về đường trung tuyến. Hy vọng những kiến thức bổ ích này sẽ giúp bạn ôn tập và rèn luyện kiến thức một cách tốt nhất, hiệu quả nhất để đạt được nhiều thành công cho bản thân. Chúc bạn thành công!